BAB V ( Persamaan Parametik dan Vektor Pada Bidang )

Persamaan Parametik

Bentuk umum persamaan parametrik dari suatu kurva bidang adalah

Jenis kurva bidang ada 4 macam, yaitu:

     (1) Kurva tertutup sederhana

      (2)   Kurva tertutup tidak sederhana

      (3)   Kurva tidak tertutup sederhana   

      (4)   Kurva tidak tertutup dan tidak sederhana

Suatu kruva dikatakan tertutup apabila titik ujung pangkalnya berimpit. Sutau kurva dikatakan sederhana, apabila kurva tersebut tidak mempunyai titik potong (dua nilai atau lebih memberikan titik titik yang sama).

Persamaan parametrik suatu kurva dapat dinyatakan ke dalam persamaan Kartesius dengan cara melenyapkan parameternya. Untuk melenyapkan parameternya, kadang menggunakan cara substitusi atau menentukan hubungan dari parameternya.

Setiap persamaan Kartesius dapat dinyatakan sebagai persamaan parameternya dan sebaliknya kadang kadang suatu kurva dapat dinyatakan dengan persamaan parameternya yang sederhana, tetapi jika dinyatakan dalam persamaan Kartesius menjadi lebih rumit. Kurva dari suatu persamaan parametrik merupakan kurva berarah.

Contoh Persamaan Parametrik :
1. x = t²+2t ; y =t -3 ; -2 ≤ t ≤ 3
2. x = t-1 ; y = t²-2 ; -3 ≤ t ≤ 1
3. x = 4 cos t ; y = 3 sin t ; 0 ≤ t ≤ π


Definisi Vektor :
Vektor adalah himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah sama

Suatu vektor dapat diberi simbol dengan salah satu anggotanya sebagai wakil. Misalnya pada gambar diatas, ruas-ruas garis berarah mempunyai besar dan arah sama, maka vektor itu dapat dinyatakan dengan simbol a atau degan dua huruf besar. misalnya AB (diberi tanda panah diatas atau dibawah) ini dimaksudkan vektor dengan titik pangkal A dan titik ujung B. vektor ini dinamakan vektor bebas.

Suatu vektor yang titik pangkalnya tertenu dan vektor lainnya harus mempunyai titik pangkal tertentu, maka vektor dinamakan vektor posisi (vektor letak)

Vektor dapat dinyatakan dalam matriks, u = [ a  b ] dan besaran vektor dinyatakan dalam 

contoh soal ,

tuliskan vektor kedalam bentuk matriks dan carilan besaran vektornya

Vektor dapat dituliskan dalam bentuk matriks menjadi

 Besaran Vektornya adalah 

Penjumlahan Vektor
a. cara segitiga
untuk memperoleh jumlah dua vektor u dan v, yaitu u + v, gambarlah vektor v yang titik pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor u. Maka u + v adalah vektor yang menghubungkan titik pangkal u dan titik ujung vektor v .

b. cara jajarangenjang

cara ini dengan menggambarkan vektor v sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor u. selanjutnya dibuat garis dari ujung u sejajar v dan garis dari ujung v sejajar u, sehingga didapat bangun jajaran genjang. Maka u + v adalah vektor yang bertitik  pangkal berimpit dengan titik pangkal u dan berimpit diagonal jajaran genjang

contoh soal. carilah penjumlahan vektor tersebut :

dapat di gambarkan sebagai berikut :

Sehingga didapatkan penjumlahan vektornya adalah :

Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor aadalah u - v = u + (-v). sehingga digambarkan sebagai berikut :

Contoh soal

Gambarlah pengurangan vektor dan carilah jumlahnya 

 Gambar pengurangan vektor

Sehingga didapatkan 

Teorema :

untuk sebarang vektor u, v dan w dan sebarang skalar a dan b berlaku sifat-sifat berikut ini :

Teorema hasil kali titik

untuk sebarang vektor u, v dan w dan k suatu skalar berlaku sifat-sifat berikut ini :

Persamaan Vektor untuk garis Lurus

Perhatikan gambar, diketahui titik D(d_1,d₂) dan sebuah vektor u = <u₁,u₂>

Kita akan menentukan persamaan vektor garis l yang melalui titik D dan sejajar dengan u. Vekor posisi titik D terhdap titik O adalah < d_1,d₂> = d.

Ambil sembarang titik W(x,y) pada garis l, maka vektor letak titik W terhadap O adalah w = <x,y>

Perhatikan bahwa,

Karena garis l sejajar u dan vektor DW pada l, maka vektor DW sejajar u sehingga ada bilangan real(skalar) k sedemikian hingga,

Persamaan diatas disebut persamaan vektor gais yang memalui titik D dan sejajar dengan u.

Contoh soal:

carilah persamaan vektor dari gambar dibawah ini

Persamaan garisnya 

 Persamaan parameter vektornya adalah

Persamaan Parametrik suatu Lingkaran

Persamaan parametric suatu lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r adalah x = r cos t; y = r sin t ; 0 ≤ t ≤ 2π

Penyelesaian :

Persamaan vektor adalah

Bentuk lain dari persamaan vektor suatu lingkaran sebagai berikut :

Ambil vektor posisi sembarang titik V(x,y) pada lingkaran, yaitu

Mengingat bahwa , maka persamaan lingkaran yang dimaksud adalah

Dalam persamaan ini, jika vektor v diganti [x    y] diperoleh

[x    y].[x    y]  = r²

x² + y² = r²

Sekarang akan mencari persamaan vektor suatu lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r.

 

V(x,y) sembarang titik pada lingkaran yang vektor posisinya adalah

vektor v = < x, y >.

Misalkan vektor p = < a,b > adalah vektor posisinya adalah 

Karena  dan V sebarang titik lingkaran, maka

Adalah suatu persamaan vektor lingkaran yang dicari.

Persaman  kartesiusnya yang dicari dengan mensubtitusikan vektor v = < x, y> dan vektor p = < a, b> maka diperoleh

Mengingat persamaan parametric suatu lingkaran dengan pusat P (a,b) dan berjari-jari r adalah

x = a + r cos t; y = b + r sin t; 0 ≤ t ≤ 2π

Maka persamaan vektor lingkaran itu dapat pula dinyatakan oleh

Referensi:

Sukirman. 1993. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah.

Catatan Kuliah Geometri Analitik 

Dosen Pengampu : Della Maulidiya, S.Si., M.Kom dan Nur Aliyyah Irsal, M.Pd.