BAB I (Kedudukan Titik dan Koordinat Kartesius)

C. Kedudukan Titik dan Koordinat Kartesius

1. Kedudukan Titik

Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap, sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam. 
Menurut Euclid, titik adalah sesuatu yang tidak memiliki bagian. Titik hanya diketahui keberadannya karena tidak memiliki dimensi.

Titik-titik pada sebuah bidang yang membentuk himpunan titik dan memenuhi suatu kriteria tertentu dinamakan kedudukan titik (locus of points). Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi. Misalnya titik-titik pada lingkaran berjari-jari 1 cm dapat dinyatakan sebagai x² + y² = 1. Secara geometris, hanya titik-titik berjarak 1 cm dari titik pusat lingkaran tersebut yang memenuhi kedudukan titik yang dinyatakan oleh persamaan x² + y² = 1. Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) sebagai berikut. 

Teorema 1.1 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik P adalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d

Teorema 1.2 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l  adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l

Teorema 1.3 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis  dan membagi  menjadi dua bagian sama besar

Teorema 1.4 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l1 dan l2 merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.

Teorema 1.5 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l1 dan l2, adalaha sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l1 dan l2

Teorema 1.6 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle)

Teorema 1.7 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya

Teorema 1.8 Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.

Teorema 1.9 Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris. Pembuktian salah satu teorema keduduka titik yaitu : Pembuktian Teorema 1.3. Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis  dan membagi  menjadi dua bagian sama besar Dalam teorema ini, kita menggunakan logika p⟺q, sehingga p⟹q dan q⟹p p= Kedudukan Titik yang memiliki jarak yang sama antara Titik A dan B q= ruas garis yang membagi sama besar ruas garis AB untuk q⟹p Dik : Titik A dan B; ruas garis CD tegak lurus terhadap ruas garis AB dan membagi dua sama besar; misalkan E berada di garis CD Dit : Apakah E akan berjarak sama terhadap titik A dan B Jawab : Sketsakan grafiknya

2. Sistem Koordinat Kartesius

Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis yaitu Decartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus dan kartografi
Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discours on Method ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, Le Geometrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.(Referensi Lain : https://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_koordinat_Kartesius ) Selanjutnya akan dibahs lebih lanjut mengenai koordinat kartesius yang telah dibuat gambar menjadi berikut :

Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa terdapat garis yang vertikal dan horizontal. untuk garis yang horizontal ini disebut absis atau disimbolkan x (sumbu-x) dan garis yang vertikal disebut oordinat atau disimbulkan y (sumbu-y). Serta terdapat titik potong antara sumbu-x dan sumbu-y disebut titik asal atau disimbolkan O(0,0). Dari koordinat kartesius tersebut terdapat 4 daerah masing-masing ini biasa disebut dengan Kuadran I, II, III dan IV. untuk penjelasan mengenai Kuadran dapat dilihat dari gambar dan tabel berikut ini :

Dua buah titik berbeda akan berada pada posisi yang berbeda. Jarak kedua titik tersebut dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

•       Buatlah dua titik berbeda yaitu A dan B lalu hubungkan dengan sebuah ruas garis.
• Buat sebuah garis melalui A dan sebuah garis lain yang melalui B sehingga kedua garis berpotongan tegak lurus.
• Tentukan titik potong kedua garis yaitu C sehingga diperoleh segitiga siku-siku ACB atau BCA lalu ukur panjang ruas garis CA dan CB
• Tentukan panjang ruas garis AB dengan menggunakan Teorema Phytagoras :
  

Jadi, rumus untuk mencari jarak dari dua titik yang berbeda (x1,y1) dan (x2,y2) adalah :

Referensi Lain : 

(https://www.academia.edu/10694391/Sistem_Koordinat)

A.     SISTEM KOORDINAT KUTUB (POLAR KOORDINATE SISTEM)

Dalam system koordinat kartesius, tempat kedudukan titik pada bidang ditunjukkan oleh pasangan terurut bilangan real (x,y). makna ini berlaku jug sebaliknya yaitu terurut bilangan rasional (x,y) menunjukkan posisi suatu titik pada bidang koordinat. Selain koordinat kartesius, untuk menunjukkan posisi suatu titik pada bidang dalam system koordinat dapat juga digunakan koordinat kutub atau koordinat polar. Dalam system koordinat kutub, letak suatu titik pada bidang ditandai dengan jarak dan sudut.

 Jika O merupakan titik pusat koordinat dengan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam system koordinat polar berdasarkan sudut vektor  dan radius vektor (r) atau garis OP yaitu P (r,θ). Sudut vektor  bernilai positif jika mempunyai arah brlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negative jika searah dengan putaran jarum jam.

Untuk mengambarkan koordinat polar pada bidang (seperti pada gambar di bawah), kita mulai dengan menetapkan satu titik tetap O dan titik tetap ini disebut titik asal (origin) atau kutub (pole). Dari titik asal, kita tarik garis dan garis ini disebut sumbu kutub. Sumbu kutub selalu horizontal dan ke arah kanan, pleh karena itu sumbu kutub dapat disamakan dengan sumbu x pada system koordinat kartesius.

Titik P adalah titik sembarang pada bidang (lihat gambar kedua). Dalam system koordinat kutub titik P terletak pada jarak r satuan dari titik asal/kutub, sinar garis OP membentuk sudut  terhadap sumbu kutub. Sinar garis OP dibuat dengan menarik garis dari kutub hingga titik P seperti pada gambar kedua. Letak titik pada bidang koordinat kutb dapat diketahui jika nilai jarak r dan sudut  diketahui dan letak titik tersebut ditandai dengan (r,θ).

A.     HUBUNGAN KOORDINAT KUTUB DENGAN KOORDINAT KARTESIUS

Kartesius Kedua system koordinat, yaitu koordinat kartesius dan koordinat polar, dapat saling berhubungan secara matematis. Perhatikan gambar berikut

             Hubungan system koordinat polar dan koordinat kartesius.

Dari gambar diatas dikatahui hubungan secara sistematis antara koordinat kartesius dan polar,

Jika sumbu-sumbu pada system koordinat kutub dan system koordinat kartesius dihimpitkan hingga saling menutupi, maka letak suatu titik pada system koordinat kutub yang ditandai dengan pasangan terurut (r, θ) dan titik pada system koordinat kartesius yng ditandai dengan pasangan beruru (x,y) dapat dihubungkan oleh persamaan berikut.

Pada segitiga OPR dengan rumus Pythagoras terdapat hubungan:

Referensi:

Sukirman. 1993. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah.

Catatan Kuliah Geometri Analitik 

Dosen Pengampu : Della Maulidiya, S.Si., M.Kom dan Nur Aliyyah Irsal, M.Pd.

DAFTAR PUSTAKA
https://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_koordinat_Kartesius diunggah pada 23 maret 2017
https://www.academia.edu/10694391/Sistem_Koordinat