A. Kurva Berderjat Dua dan Lingkaran
Persamaan Umum Kurva Berderajat Dua :
Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0
dengan koefisien A dan B tidak sama dengan nol
Kurva Berderajat Dua disebut juga irisan kerucut. Irisan Kerucut adalah kedudukan titik-titikk yang bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap. Irisan memiliki 4 macam bentuk yaitu:
Tiap irisan Kerucut memiliki komponen-komponen yang menjadi karateristik dari tiap bentuk kurva yaitu esentrisitas, garis direktriks dan titik fokus
titik F : titik Fokus
jarak P ke l = d
jarak P ke F = d'
Perbandingan jarak d dan d; yaitu esentrisitas (e).
jika d = d' maka e = 1
jika d > d' maka e > 1
jika d < d' maka e < 1
1. Lingkaran
2. Parabola (e=1)
3. Elips (e<1)
4. Hiperbola (e>1)
Sebuah
kurva bidang (plane curve) merupakan
himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah
persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut :
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey
+ F = 0
dengan nilai koefisien A, B, dan C ketiganya
tidak bersamaan bernilai nol.
Semua persamaan berderajat dua seperti di
atas, pada sistem koordinat persegi panjang akan merepresentasikan sebuah kurva
yang dinamakan irisan kerucut (conic).
Bentuk persamaan kurva berderajat dua juga dapat dinyatakan sebagai berikut :
ax2 + by2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0
dengan nilai koefisien a, b, dan h ketiganya tidak bersamaan bernilai
nol.
Jika kurva berderajat dua melalui titik (0,
0) maka diperoleh persamaan kurva yaitu :
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak
bersamaan bernilai nol
atau
ax2 + by2 + 2gx + 2fy + c = 0
dengan nilai koefisien a dan b keduanya tidak
bersamaan bernilai nol.
2. Lingkaran
Lingkaran adalag kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, dimana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertenti yang dimaksud adalah titik pusat.
Persamaan
umum lingkaraan :
((x – a)2 +
(y – b)2)1/2 = CP
((x – a)2 +
(y – b)2)1/2 = r
(x – a)2 +
(y – b)2 = r2
Hubungan
dengan Persamaan Kurva berderajat dua
x2 +
y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
x2 +
y2 – 2ax – 2by + c = 0
Jika
sebuah lingkaran berjari-jari 3 didapatkan bahwa :
Jawab :
Titik-titik yang
dilalui oleh lingkaran tersebut adalah (3,0); (0,3); (-3,0); (0,-3); (5/2,5/3);
dan (-5/2,5/3).
(3,0) =>
9A + 3D + F = 0......(1)
(0,3) =>
9B + 3E + F = 0....... (2)
(-3,0) =>
9A – 3D + F = 0.......(3)
(0,-3) =>
9B – 3E + F = 0........(4)
(5/2,5/3) =>
25A/4 + 25B/9 + 25C/6 + 5D/2 + 5E/3 + F = 0 .......(5)
(-5/2,5/3) =>
25A/4 + 25B/9 - 25C/6 - 5D/2 + 5E/3 + F = 0......(6)
Eliminasikan persamaan
(1) dan (3)
9A + 3D + F = 0
9A – 3D + F =
0 -
6D
= 0
D
= 0
D = 0
Subs (1)
9A + F = 0 ó F
= -9A
A = 1 maka F = -9
Eliminasikan (2) dan
(4)
9B + 3E + F = 0
9B – 3E + F =
0 -
6E
= 0
E
= 0
E = 0
Subs pers(3)
9B + F = 0 ó F
= -9B
B = 1 maka F = -9
Eliminasikan pers (5)
dan (6)
25A/4 + 25B/9 + 25C/6 +
5D/2 + 5E/3 + F = 0
25A/4 + 25B/9 - 25C/6 -
5D/2 + 5E/3 + F = 0 -
25C/3
+ 5D = 0
subs D = 0 ke 25C/3 +
5D = 0
25C/3 = 0
C = 0
Jadi , A=1, B=1, C=0,
D=0, E=0, F=-9
persamaan umum
Lingkaran
x² + y² - 9 =
0
x² +
y² = 9
Syarat dalam Persamaan
Lingkaran
x² + y² – 2ax
– 2by + c = 0
c = a² + b² –
r²
c = 0
a² + b² = r²
(x – a)² + (y –
b)² = a² + b²
x² + y² – 2ax
– 2by + a² + b² = a² + b²
x² + y² – 2ax
– 2by = 0
(x – a)² + (y –
b)² = a² + b² => r² = a² + b²
Lingkaran berpusat di
(a,b) berjari-jari (a²+b²)1/2
c > 0
a² + b² –
r² > 0
a² + b² >
r²
(a² +
b²)1/2 > 0
c < 0
a² + b² –
r² < 0
a² + b² <
r²
(a² +
b²)1/2 < 0
Garis Singgung Lingkaran
Gais Singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik. Pada sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat sebuah garis singgung lingkaran. Garis singgung Lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya.
Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Garis Singgung Sejajar
Garis Singgung Berpotongan
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan titik pusat O(0,0) dan sejajar garis y = mx+n
2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang tegak lurus garis singgung lingkaran.
3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan titik pusat di (a,b)
4. Persamaan Garis singgung berpusat (0,0) di titik singgung T (x1,y1)
x1.x + y1.y = r²
5. Persamaan Garis singgung berpusat (a,b) di titik singgung T (x1,y1)
(x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b)=r
6. Persamaan Garis singgung pada lingkaran x²+y²+Ax + By + C = 0 di titik singgung T (x1,y1)
x1.x + y1.y + 1/2.A(x+x1) + 1/2 B(y+y1) + C =0
Persamaan Garis Kutub
Pada Lingkaran yang memiliki titik singgung S1(x1,y1) dan S2(x2,y2) terhadap titik di T (x0,y0) maka persamaaann garis singgungnya adlah
x0.x+y0.y = r²
Referensi:
Sukirman. 1993. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah.
Catatan Kuliah Geometri Analitik
Dosen Pengampu : Della Maulidiya, S.Si., M.Kom dan Nur Aliyyah Irsal, M.Pd.
Komentar
Posting Komentar