BAB V ( Koordinat Kartesius dan Vektor pada ruang dimensi tiga)

Dalam sistem koordinat kartesius ini kita ambil patokan bahwa sumbu y diambil mendatar (arah kanan (+) dan arah kiri (-)), sumbu z diambil vertikal (arah atas (+) dan arah bawah (-) sedangkan sumbu x yang menuju arah kita sebagai arah positif dan arah lawannya adalah negatif.

ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz dan bidang yz. Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan I,II,II,IV,...,VIII.

Oktan I,II,III,IV diatas bidang xy
Oktan V,VI,VII,VIII dibawah bidang xy

Oktan I            : (x⁺ , y^+, z⁺)                                        

Oktan II          : (x⁺ , y-^, z⁺)                                          

Oktan III         : (x^- , y^-, z⁺)                                          

Oktan IV         : (x^- , y^+, z⁺)                                          

O ktan V          : (x⁺ , y^+, z^-)

Oktan VI         : (x⁺ , y^-, z^-)

 Oktan VII       : (x^- , y^-, z^-)

Oktan VIII      : (x^- , y^+, z^-)

Cara membuat suatu titik P(x,y,z)

1. proyeksi bidang xy, z = 0

    A(x,y,0)

2. proyeksi bidang xz, y = 0

    B(x,0,z)

3. proyeksi bidang yz, x = 0

    C(0,y,z)

contoh menggambarkan titik

Cara lain menggambarkan titik P(x,y,z)

1. Letakkan titik di koordinat x

2. Geser ke kanak atau ke kiri sesuai dengan titik yanng ditentukan

3. Geser ke atas atau ke bawah sesuai dengan titik yang ditentukan.

Contoh gambar 

Jarak antar Titik

Misalkan Titik P(x1,y1,z1) dan R(x2,y2,x3)

Untuk mengetahui jarak antar dua titik tersebut didapatkan dengan cara.

1. Gambarkan proyeksi titik P dan R sehingga didapatkan 2 balok

2. Dari titik  P dan R dibuat balok sedemikian hingga titik P dan R tersebut adalah diagonal ruang balok tersebut.

3. Kemudian Proyeksikan titik P ke bidang XY sehingga didapatkan PR

4. segitiga PQR membentuk sebuah segitiga siku siku

5. Dengan menggunakan rumus Phytagoras maka didapatkan bahwa panjang PQ adalah :

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Dalam ruang-ruang dimensi tiga suatu titik dinyatakan dengan tiga komponen, yaitu absis, ordinat dan aplikat. Misalnya B(x₁, y_1, z₁). Vektor posisi (terhadap titik O) untuk titik B adalah a = < x₁, y_1, z₁> = x₁i, y₁j_, z₁k.

Vektor-vektor basis i,j,k berturut-turut adalah vektor-vektor satuan yang searah dengan sumbu-sumbu x positif, y positif dan z positif.

Semua sifat penjumlahan vekotr dan perkalian vekotr dengan skalar yang berlaku dalam bidang datar juga berlaku untuk vektor dalam ruang dimensi tiga.

PANJANG VEKTOR

Jika a = < x₁, y_1, z₁> maka panjang vektor a adalah,

PERKALIAN TITIK PADA VEKTOR

Jika u = < u₁, u_2, u₃> dan v = < v₁, v_2, v₃>, maka perkalian titiknya didefinisikan sebagai berikut

Dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh u dan v dan serta 0 ≤ θ ≤ phi

Dari definisi diatass didaptkan rumus sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v yaitu,

PERKALIAN VEKTOR

Jika u = < u₁, u_2, u₃> dan v = < v₁, v_2, v₃> maka perkalian kedua vektor adalah,

HASIL KALI SILANG DUA VEKTOR

Perkalian silang dua vektor a = a₁i + a₂j + a₃k dan b = b₁i + b₂j + b₃k didefinisikan sebagai berikut,

Dengan θ adalah sudut yang dibentuk kedua vektor dan u adalah vektor satun yang tegak lurus pada a dan b.

Referensi:

Sukirman. 1993. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah.

Catatan Kuliah Geometri Analitik 

Dosen Pengampu : Della Maulidiya, S.Si., M.Kom dan Nur Aliyyah Irsal, M.Pd.